Question

1．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2^n-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1-b_n=2n+3，且c_n=$\frac{{a}_{n}•_{n}}{n}$，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公及前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）采用累加法求得${a}_{n}-{a}_{1}={2}^{n-1}-1$，求得{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）采用累加法求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，整理寫(xiě)出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，c_n=（n+2）•2^n-1，數(shù)列{c_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的形式，采用乘以公比錯(cuò)位相減法，求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n-1}$，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=4，
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}={2}^{n-2}$，
以上各式相加，得：${a}_{n}-{a}_{n-1}=1+2+4+…+{2}^{n-2}$，
∴${a}_{n}-{a}_{1}={2}^{n-1}-1$，
∵a₁=1，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=2n+3，
b₂-b₁=5，
b₃-b₂=7，
b₄-b₃=9，
…
b_n-b_n-1=2n+1，
以上各式相加得：
b_n-b₁=5+7+9+…+2n+1，
$_{n}-_{1}=\frac{（n-1）（2n+6）}{2}$=n²+2n-3，

b₁=3，
∴$_{n}={n}^{2}+2n=n（n+2）$，
c_n=$\frac{{a}_{n}•_{n}}{n}$=$\frac{{2}^{n-1}•n（n+2）}{n}=（n+2）•{2}^{n-1}$，
c_n=（n+2）•2^n-1，
T_n=3×2⁰+4×2¹+5×2²+…+（n+2）•2^n-1，
2T_n=3×2¹+4×2²+5×2³+…+（n+1）•2^n-1+（n+2）•2ⁿ，
兩式相減，得：-T_n=3×2⁰+（2¹+2²+…+2^n-1）-（n+2）•2ⁿ，
=3+（2ⁿ-2）-（n+2）2ⁿ=-（n+1）•2ⁿ+1，
∴T_n=（n+1）•2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查采用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式及采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，過(guò)程復(fù)雜，屬于中檔題．