Question

10．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足S₂+a₁=0，a₃=12．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞2016？若存在，求出符合條件的n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，利用2a₁+a₁q=0及a₁≠0可知q=-2，進(jìn)而通過(guò)a₃=12可知首項(xiàng)a₁=3，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）、利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知S_n＞2016等價(jià)于（-2）ⁿ＜-2015，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
因?yàn)镾₂+a₁=0，所以2a₁+a₁q=0，
因?yàn)閍₁≠0，所以q=-2，
又因?yàn)?{a_3}={a_1}{q^2}=12$，所以a₁=3，
所以${a_n}=3×{（-2）^{n-1}}$；
（Ⅱ）結(jié)論：符合條件的n的最小值為11．
理由如下：
由（I）可知${S_n}=\frac{{3×[{1-{{（-2）}^n}}]}}{1-（-2）}=1-{（-2）^n}$，
令S_n＞2016，即1-（-2）ⁿ＞2016，整理得（-2）ⁿ＜-2015，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原不等式無(wú)解；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原不等式等價(jià)于2ⁿ＞2015，解得n≥11；
綜上所述，所以滿(mǎn)足S_n＞2016的正整數(shù)n的最小值為11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．