Question

7．菱形ABCD的邊長為3，DC=3DE，若$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{9}{2}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$=（　　）

• A． 15
• B． 18
• C． 21
• D． 24

Answer 1

分析 根據(jù)條件及向量加法、數(shù)乘的幾何意義和相等向量的概念即可得出$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，而根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可得出$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，從而$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}=（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}）$，這樣根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：如圖，

DC=3DE；
∴$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，AB=AD=3，且$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}=\frac{9}{2}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}=（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}）$
=${\overrightarrow{AD}}^{2}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$
=9+6+3
=18．
故選：B．

點(diǎn)評 考查向量加法和數(shù)乘的幾何意義，相等向量的概念，以及向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)量積的運(yùn)算．