Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線x+y-m=0（m是正常數(shù)）與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{12}{5}$時，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c+a=3，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為5x²-8mx+4m²-4=0，利用△＞0，根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{12}{5}$，解出即可得出．

解答 解：（1）由已知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c+a=3，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為5x²-8mx+4m²-4=0，
由△＞0，得64m²-20（4m²-4）＞0，即m²＜5，
∵m＞0，∴$0＜m＜\sqrt{5}$．
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{12}{5}$，∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{12}{5}$，
又y₁y₂=（-x₁+m）（-x₂+m）=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²，
∴2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=$\frac{12}{5}$，
$2×\frac{4{m}^{2}-4}{5}$-$\frac{8{m}^{2}}{5}$+m²=$\frac{12}{5}$，
解得m²=4，
又$0＜m＜\sqrt{5}$．
∴m=2，
∴PQ的方程為x+y-2=0．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線與橢圓相交問題、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．