Question

1．若定義域均為D的三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）滿足條件：?x∈D，點（x，g（x）） 與點（x，h（x））都關(guān)于點（x，f（x））對稱，則稱h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”．已知g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，f（x）=3x+b，h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”，且h（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{10}$]
• B． [-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]
• C． [-3，$\sqrt{10}$]
• D． [$\sqrt{10}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)對稱函數(shù)的定義，結(jié)合h（x）≥g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離d≥1，利用點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：∵x∈D，點（x，g（x）） 與點（x，h（x））都關(guān)于點（x，f（x））對稱，
∴$\frac{g（x）+h（x）}{2}$=f（x），
即2f（x）=g（x）+h（x）
∵h（x）≥g（x）恒成立，
∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），
即f（x）≥g（x）恒成立，
作出g（x）和f（x）的圖象，
若h（x）≥g（x）恒成立，
則h（x）在直線f（x）的上方，
即g（x）在直線f（x）的下方，
則直線f（x）的截距b＞0，且原點到直線y=3x+b的距離d≥1，
即d=$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{{3}^{2}+1}}$=$\frac{|b|}{\sqrt{10}}$≥1，即|b|≥$\sqrt{10}$，
則b≥$\sqrt{10}$或b≤-$\sqrt{10}$（舍），
即實數(shù)b的取值范圍是[$\sqrt{10}$，+∞），
故選：D

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)對稱函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．