Question

已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，

3

）.

m

=（

1

2

，cosx），

n

=（f（x），cos（x+α））．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）當(dāng)

m

⊥

n

時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B為銳角，且f（B）=

3

2

，b=1，c=

3

，求a．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義和題意，分別求出sinα、cosα和tanα的值，再代入式子求值；
（Ⅱ）由向量垂直的坐標(biāo)條件列出方程，求出f（x）再利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再由周期公式求出函數(shù)的周期；
（Ⅲ）把f(B)=

3

2

代入解析式化簡(jiǎn)求出角B，由余弦定理和題意列出關(guān)于a的方程求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)榻铅两K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，

3

），則|OP|=2，
所以sinα=

3

2

，cosα=-

1

2

，tanα=-

3

，
則sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-

3

2

+

3

=

3

2

----（3分）
（Ⅱ）由

m

⊥

n

得，

1

2

f(x)+cosxcos(x+α)=0----（4分）
所以

f(x)=-2cosx(cosxcosα-sinxsinα)=-2cosx(- 1 2 cosx- 3 2 sinx)

-5 分
=cos2x+

3

sinxcosx=

1

2

(1+cos2x)+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)+

1

2

--（7分）
所以f（x）的最小正周期為π--------8 分
（Ⅲ）由f(B)=

3

2

得，sin(2B+

π

6

)+

1

2

=

3

2

，
即sin(2B+

π

6

)=1，則2B+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），解得B=

π

6

--9 分
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB-----10 分
即 12=a2+

3

2-2

3

acos

π

6

，
解得，a=1或2---12 分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式，以及余弦定理，正弦函數(shù)的周期等，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度不大，關(guān)鍵是熟練掌握公式并會(huì)應(yīng)用．