Question

1．若函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-3）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍是（-3，1）．

Answer 1

分析 由題意知原函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，由f（mx-3）+f（x）＜0恒成立得mx-3＜-x⇒xm+x-3＜0，對(duì)所有m∈[-2，2]恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)f（m）=xm+x-2，利用該函數(shù)的單調(diào)性可解得x的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，
即為f（x）=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
又f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-f（x），
則為奇函數(shù)，
故f（mx-3）+f（x）＜0，
則f（mx-3）＜-f（x）=f（-x），
此時(shí)應(yīng)有mx-3＜-x，
即xm+x-3＜0，對(duì)所有m∈[-2，2]恒成立，
令g（m）=xm+x-3，
此時(shí)只需$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-x-3＜0}\\{g（2）=3x-3＜0}\end{array}\right.$即可，
解之得-3＜x＜1，
則x的取值范圍為（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)注意變換主元的方法，是個(gè)中檔題．