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4．在數列{an}中，a1=1，${a_{n+1}}=2{a_n}+1（n∈{N^*}）$，則數列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的各項和為2n-1．

分析 由${a_{n+1}}=2{a_n}+1（n∈{N^*}）$，變形an+1+1=2（an+1），利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵${a_{n+1}}=2{a_n}+1（n∈{N^*}）$，
∴an+1+1=2（an+1），
∴數列{an+1}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴an+1=2n，
∴an=2n-1．
故答案為：2n-1．

點評 本題考查了等比數列的通項公式，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．

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