Question

9．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N⁺）
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關于n的表達式；
（2）是否存在自然數(shù)n，使得S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2013，若存在，求出n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）可知S_n=na_n-2n（n-1）、S_n+1=（n+1）a_n+1-2n（n+1），通過將兩式作差、整理可知a_n+1-a_n=4，進而可知數(shù)列{a_n}是以1為首項、4為公差的等差數(shù)列，計算即得結論；
（2）通過a_n=4n-3、a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1，從而數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，通過計算、化簡可知S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2n-1，計算即得結論．

解答 （1）證明：∵a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1），
∴S_n=na_n-2n（n-1），
S_n+1=（n+1）a_n+1-2n（n+1），
兩式相減得：a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
整理得：a_n+1-a_n=4，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項、4為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3，
S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）；
（2）結論：存在自然數(shù)n=1007滿足題設條件．
理由如下：
∵a_n=4n-3，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a_n-2（n-1）
=4n-3-2n+2
=2n-1，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，
∴S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-（n-1）²
=n²-（n-1）²
=2n-1，
令S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2013，
即2n-1=2013，解得：n=1007，
∴存在自然數(shù)n=1007滿足題設條件．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．