14.已知函數(shù)f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[x2-2(2a-1)x+8].
(1)若f(x)的定義域?yàn)镽,求a的取值范圍;
(2)若f(x)的值域?yàn)镽,求a的取值范圍;
(3)f(x)在[-1,+∞)上有意義,求a的取值范圍;
(4)f(x)在[a,+∞]上為減函數(shù),求a的取值范圍;
(5)a=$\frac{3}{4}$時(shí),y=f[sin(2x-$\frac{π}{3}$)],x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{π}{2}$]的值域.

分析 根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,(1)利用判別式△<0求出f(x)的定義域?yàn)镽;
(2)利用判別式△≥0求出f(x)的值域?yàn)镽時(shí)a的取值范圍;
(3)f(x)在[-1,+∞)上有意義時(shí),得x=-1時(shí)x2-2(2a-1)x+8>0,求出a的取值范圍;
(4)f(x)在[a,+∞)上為減函數(shù),得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2(2a-1)a+8>0}\\{2a-1≤a}\end{array}\right.$,解不等式組即可;
(5)a=$\frac{3}{4}$時(shí)求出f(x),再求出t=sin(2x-$\frac{π}{3}$)在x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{π}{2}$]的取值范圍,求f(t)的值域即可.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[x2-2(2a-1)x+8],
(1)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí),
x2-2(2a-1)x+8>0恒成立,
∴△=4(2a-1)2-4×8<0,
解得-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$<a<$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$;
(2)當(dāng)f(x)的值域?yàn)镽時(shí),
△=4(2a-1)2-4×8≥0,
解得a≤-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或a≥$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$;
(3)當(dāng)f(x)在[-1,+∞)上有意義時(shí),
即x≥-1時(shí),x2-2(2a-1)x+8>0,
∴1+2(2a-1)+8>0,
解得a>-$\frac{7}{4}$;
(4)∵f(x)在[a,+∞)上為減函數(shù),
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2(2a-1)a+8>0}\\{2a-1≤a}\end{array}\right.$,
解得-$\frac{4}{3}$<a≤1;
(5)當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí),f(x)=${log}_{\frac{1}{2}}$(x2-x+8),
設(shè)t=sin(2x-$\frac{π}{3}$),x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{π}{2}$],
則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$],
∴t=sin(2x-$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
又$\frac{31}{4}$≤t2-t+8≤$\frac{35}{4}$,
∴${log}_{\frac{1}{2}}$35≤f(t)≤${log}_{\frac{1}{2}}$31,
即f(sin(2x-$\frac{π}{3}$))的值域是[${log}_{\frac{1}{2}}$35,${log}_{\frac{1}{2}}$31].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題,也考查了換元法與判別式的應(yīng)用問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,是綜合性題目.

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