Question

19．設(shè)f（x）=4^x+1+a•2^x+b（a，b∈R），若對(duì)于?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{2}$都成立，則b=$\frac{17}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=4^x+1+a•2^x+b=4•（2^x）²+a•2^x+b，
設(shè)t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，
則函數(shù)等價(jià)y=4t²+a•t+b，t∈[1，2]，
若于?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{2}$都成立，
即于?t∈[1，2]，|4t²+a•t+b|≤$\frac{1}{2}$都成立，
即-$\frac{1}{2}$≤4t²+a•t+b≤$\frac{1}{2}$恒成立，
設(shè)g（t）=4t²+a•t+b，要使?a∈R，不等式恒成立，
則函數(shù)g（t）的對(duì)稱軸t=$\frac{3}{2}$，即-$\frac{a}{2×4}$=$\frac{3}{2}$，即a=-12，
此時(shí)g（t）=4t²-12t+b，
則拋物線開口向上，
要使-$\frac{1}{2}$≤4t²+a•t+b≤$\frac{1}{2}$恒成立，
則函數(shù)g（t）_max$≤\frac{1}{2}$，且g（t）_min≥-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=1或2時(shí)，g（t）_max=g（1）=4-12+b=b-8≤$\frac{1}{2}$，即b≤$\frac{17}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，g（t）_min=g（$\frac{3}{2}$）=b-9≥-$\frac{1}{2}$，即b≥$\frac{17}{2}$，
即b=$\frac{17}{2}$，
故答案為：$\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．