Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{cosx}{x}$（x＞0），g（x）=sinx-ax（x＞0）
（1）若f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）設(shè)點P是函數(shù)φ（x）與ω（x）的圖象的交點，若直線l同時與函數(shù)φ（x），ω（x）的圖象相切于P點，且函數(shù)φ（x），ω（x）的圖象位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l為函數(shù)φ（x），ω（x）的分切線，探究：是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線？若存在，求出實數(shù)a的值，并寫出分切線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥g（x）分離出常數(shù)a，再構(gòu)造函數(shù)φ（x）=$\frac{xsinx-cosx}{{x}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性求出函數(shù)的極大值、最大值，即求出a的范圍；
（2）根據(jù)條件得：“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)極限思想進行排除，再根據(jù)a的范圍求出函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，求出切線方程后利用導(dǎo)數(shù)，分別判斷出函數(shù)f（x）、g（x）的圖象與切線的位置關(guān)系．

解答 解：（1）∵f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴$\frac{cosx}{x}$≥sinx-ax，得a≥$\frac{xsinx-cosx}{{x}^{2}}$，
設(shè)φ（x）=$\frac{xsinx-cosx}{{x}^{2}}$，
則φ′（x）=$\frac{（xsinx-cosx）′{x}^{2}-（xsinx-cosx）（{x}^{2}）′}{{x}^{4}}$
=$\frac{cosx（{x}^{2}+2）}{{x}^{3}}$，
∵x＞0，x²+2＞0，
∴φ（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ），k∈Z上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（$\frac{3π}{2}$+2kπ，$\frac{5π}{2}$+2kπ），k∈Z上單調(diào)遞增，
∴φ（x）的極大值為φ（$\frac{π}{2}$+2kπ）=$\frac{1}{\frac{π}{2}+2kπ}$，
故φ（x）的最大值為φ（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，
所以a≥$\frac{2}{π}$；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線，
則有“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)x→0時，f（x）=$\frac{cosx}{x}$→+∞，g（x）=sinx-ax→0，
∴?x₀∈（0，?）使得f（x）＞g（x），∴f（x）≤g（x）在（0，+∞）上不恒成立，
∴只能是f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，
由（1）得，a$≥\frac{2}{π}$，∵函數(shù)f（x）與g（x）必須存在交點，∴a=$\frac{2}{π}$，
當(dāng)a=$\frac{2}{π}$時，函數(shù)f（x）與g（x）的交點為：（$\frac{π}{2}$，0），
∴f′（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{2}{π}$=g′（$\frac{π}{2}$），
則存在直線y=-$\frac{2}{π}$x+1在點（$\frac{π}{2}$，0）處同時與f（x）、g（x）相切，
故猜測函數(shù)f（x）與g（x）分切線為：y=-$\frac{2}{π}$x+1，
證明如下：①∵f（x）-（-$\frac{2}{π}$x+1）=$\frac{cosx+\frac{2}{π}{x}^{2}-x}{x}$，
設(shè)h（x）=cosx+$\frac{2}{π}$x²-x，則h′（x）=-sinx+$\frac{4}{π}$x-1，
設(shè)t（x）=-sinx+$\frac{4}{π}$x-1，則t′（x）=-cosx+$\frac{4}{π}$，
∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h′（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，
∵h′（$\frac{π}{2}$）=0∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{π}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（$\frac{π}{2}$）=0，∴f（x）-（-$\frac{2}{π}$x+1）≥0，
即f（x）≥（-$\frac{2}{π}$x+1）在（0，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=-$\frac{2}{π}$x+1的上方，
②∵g（x）-（-$\frac{2}{π}$x+1）=sinx-1在（0，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=-$\frac{2}{π}$x+1的下方，
由此可知，函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線：y=-$\frac{2}{π}$x+1，
當(dāng)a=$\frac{2}{π}$時，函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線為：y=-$\frac{2}{π}$x+1．

點評 本題考查三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、等價轉(zhuǎn)化能力，化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、有限與無限等數(shù)學(xué)思想方法．