Question

9．已知函數(shù)$f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|）＜\frac{π}{2}）$的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{π}{6}，2）$，與其相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{2π}{3}，-2）$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及對稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，根據(jù)圖象相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到函數(shù)的最大值，最小值，周期，進(jìn)而求出A，ω，φ值后，即可得到函數(shù)解析式．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的對稱軸方程．

解答 解：（1）由題意知A=2，
周期T=2（$\frac{2π}{3}$$-\frac{π}{6}$）=π，ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴y=2sin（2x+φ），
∵2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），可得：φ$+\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴|φ|$＜\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴解析式為：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
∴令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的解析式的求法，其中熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．