Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)M是△ABC中角C的外角內(nèi)的一點(diǎn)，且CM=2，過點(diǎn)M作MF⊥BC，ME⊥AC，垂足分別為F，E，求MF+ME的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)正弦定理得出c²=2ab，再使用余弦定理得出關(guān)于cosC的方程，解出cosC；
（II）設(shè)∠MCF=α，則∠MCE=$\frac{2π}{3}-α$，根據(jù)三角函數(shù)定義得出ME，MF，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和α的范圍得出最大值．

解答 解：（I）∵sin²C=2sinAsinB，
∴c²=2ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{6abcosC-2ab}{2ab}$=3cosC-1．
∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）設(shè)∠MCF=α，則∠MCE=$\frac{2π}{3}-α$，
∴MF+ME=CMsinα+CMsin（$\frac{2π}{3}-α$）=2sinα+2sin（$\frac{2π}{3}-α$）=3sinα+$\sqrt{3}$cosα=2$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜α＜\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，MF+ME取得最大值2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．