Question

7．設(shè)0＜α＜π＜β＜2π，向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overline$=（2cosα，sinα），$\overrightarrow{c}$=（sinβ，2cosβ），$\overrightarrowfcaifbr$=（cosβ，-2sinβ）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求α；
（2）若|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowk1wu4jo$|=$\sqrt{3}$，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求證：$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$便有2cosα+2sinα=0，從而得到tanα=-1，這樣由α的范圍便可求出α；
（2）先求出$\overrightarrow{c}+\overrightarrowf5zhh7r$的坐標(biāo)，根據(jù)$|\overrightarrow{c}+\overrightarrow8xcd3fw|=\sqrt{3}$便可得到5-6sinβcosβ=3，從而求出$sinβcosβ=\frac{1}{3}$，這說明sinβ，cosβ同號，再根據(jù)β的范圍便可判斷sinβ＜0，cosβ＜0，而可求得$（sinβ+cosβ）^{2}=\frac{5}{3}$，這樣即可求出sinβ+cosβ的值；
（3）由tanαtanβ=4便可得到4cosαcosβ-sinαsinβ=0，這樣由平行向量的坐標(biāo)關(guān)系即可得出$\overrightarrow∥\overrightarrow{c}$．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
即2cosα+2sinα=0；
∴tanα=-1；
∵0＜α＜π；
∴$α=\frac{3π}{4}$；
（2）$\overrightarrow{c}+\overrightarrowu3igmnd=（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ）$；
$|\overrightarrow{c}+\overrightarrowgndl4ot|=\sqrt{3}$；
∴$（\overrightarrow{c}+\overrightarrow3lb0sj2）^{2}=3$；
∴（sinβ+cosβ）²+4（cosβ-sinβ）²=3；
∴5-6sinβcosβ=3；
∴sinβcosβ=$\frac{1}{3}$，則sinβ，cosβ同號；
∴（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=$1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$；
∵π＜β＜2π；
又sinβ，cosβ同號；
∴$π＜β＜\frac{3π}{2}$，即sinβ＜0，cosβ＜0；
∴$sinβ+cosβ=-\frac{\sqrt{15}}{3}$；
（3）證明：由tanαtanβ=4得，$\frac{sinα}{cosα}•\frac{sinβ}{cosβ}=4$；
∴sinαsinβ=4cosαcosβ；
∴4cosαcosβ-sinαsinβ=0；
∴$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{c}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，已知三角函數(shù)值求角，向量坐標(biāo)的加法運算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，切化弦公式，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系．