Question

16．直線l過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且被C截得的弦AB的長為8，且分別以FA，F(xiàn)B為直徑的圓的面積和為12π，則拋物線的方程為y²=4x．

Answer 1

分析 設(shè)出直線l的方程，代入拋物線C：y²=2px的方程可得：${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）px+\frac{1}{4}{k}^{2}{p}^{2}=0$，進(jìn)而可得x₁•x₂=$\frac{1}{4}{p}^{2}$，由直線l被C截得的弦AB的長為8可得：x₁+x₂=8-p，由分別以FA，F(xiàn)B為直徑的圓的面積和為12π可得$[（{x}_{1}+\frac{p}{2}）^{2}+（{x}_{2}+\frac{p}{2}）^{2}]\frac{π}{4}=12π$，進(jìn)而可得p值，進(jìn)而得到拋物線的方程．

解答 解：若直線l與x軸垂直，由直線l被C截得的弦AB的長為8可得：FA=FB=4，
此時分別以FA，F(xiàn)B為直徑的圓的面積和為8π，不滿足條件；
若直線l與x軸不垂直，可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-$\frac{1}{2}$p），
代入拋物線C：y²=2px的方程可得：${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）px+\frac{1}{4}{k}^{2}{p}^{2}=0$，
∴x₁•x₂=$\frac{1}{4}{p}^{2}$，…①
又∵直線l被C截得的弦AB的長為8可得：x₁+x₂+p=8，即x₁+x₂=8-p…②
∵分別以FA，F(xiàn)B為直徑的圓的面積和為12π，
∴$[（{x}_{1}+\frac{p}{2}）^{2}+（{x}_{2}+\frac{p}{2}）^{2}]\frac{π}{4}=12π$，即（x₁+x₂）²-2x₁•x₂+p（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}}{2}$=48
將①②代入得：p=2，
故拋物線的方程為：y²=4x，
故答案為：y²=4x

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，難度中檔．