Question

7．已知sin（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{5}{13}$，0＜x＜$\frac{π}{4}$，
（1）求$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}+x）}$的值
（2）求$\frac{sin2x}{sin（\frac{π}{4}+x）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦函數(shù)加法定理得cosx-sinx=$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，再由同角三角函數(shù)關系式得2sinxcosx=sin2x=$\frac{119}{169}$，cos2x=$\frac{120}{169}$，利用誘導公式得到cos（$\frac{π}{4}+x$）=sin（$\frac{π}{4}-x$）=$\frac{5}{13}$，由此能求出$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}+x）}$．
（2）先求出sinx+cosx和sin（$\frac{π}{4}+x$），由此能求出sinx$\frac{sin2x}{sin（\frac{π}{4}+x）}$．

解答 解：（1）∵sin（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{5}{13}$，0＜x＜$\frac{π}{4}$，
∴0＜2x＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-x）=sin$\frac{π}{4}$cosx-cos$\frac{π}{4}$sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}（cosx-sinx）=\frac{5}{13}$，
∴cosx-sinx=$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，
∴1-2sinxcosx=$\frac{50}{169}$，∴2sinxcosx=sin2x=$\frac{119}{169}$，
∴cos2x=$\sqrt{1-（\frac{119}{169}）^{2}}$=$\frac{120}{169}$，
cos（$\frac{π}{4}+x$）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}-x$）]=sin（$\frac{π}{4}-x$）=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{\frac{120}{169}}{\frac{5}{13}}$=$\frac{24}{13}$．
（2）∵0＜x＜$\frac{π}{4}$，2sinxcosx=sin2x=$\frac{119}{169}$，
∴sinx+cosx=$\sqrt{1+2sinxcosx}$=$\sqrt{1+\frac{119}{169}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{13}$，
sin（$\frac{π}{4}+x$）=sin$\frac{π}{4}$cosx+cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinx+cosx）$=$\frac{12}{13}$，
∴sinx$\frac{sin2x}{sin（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{\frac{119}{169}}{\frac{12}{13}}$=$\frac{119}{156}$．

點評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦函數(shù)加法定理、同角三角函數(shù)關系式、誘導公式的合理運用．