Question

15．已知拋物線y=8x²-8nx-n²與坐標軸交于三點，作過這三點的圓，發(fā)現(xiàn)圓經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為（$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 求出拋物線y=8x²-8nx-n²與坐標軸相交的三點為（0，-n²），（$\frac{2-\sqrt{6}}{4}n，0$），（$\frac{2+\sqrt{6}}{4}$n，0），設(shè)過這三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系數(shù)法求出圓的方程為${x}^{2}+{y}^{2}-x+Ey-\frac{1}{4}$=0，由此能求出圓經(jīng)過的定點的坐標．

解答 解：∵拋物線y=8x²-8nx-n²與坐標軸交于三點，
∴由x=0，得y=-n²，由y=0，得8x²-8nx-n²=0，
解得${x}_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}n$，${x}_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{4}$n，
∴拋物線y=8x²-8nx-n²與坐標軸相交的三點為（0，-n²），（$\frac{2-\sqrt{6}}{4}n，0$），（$\frac{2+\sqrt{6}}{4}$n，0），
設(shè)過這三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{4}-{n}^{2}E+F=0}\\{\frac{10-4\sqrt{6}}{16}+\frac{2-\sqrt{6}}{4}D+F=0}\\{\frac{10+4\sqrt{6}}{16}+\frac{2+\sqrt{6}}{4}D+F=0}\end{array}\right.$，解得D=-1，F(xiàn)=-$\frac{1}{4}$，
∴圓的方程為${x}^{2}+{y}^{2}-x+Ey-\frac{1}{4}$=0，
設(shè)該圓過定點P（x₀，y₀），
則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-{x}_{0}+E{y}_{0}-\frac{1}{4}$=0，
∵圓經(jīng)過一個定點，∴y₀=0，${{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-\frac{1}{4}=0$，
解得x₀=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，∴該定點坐標為（$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，0）．
故答案為：（$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，0）．

點評 本題考查圓經(jīng)過的定點坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．