Question

8．已知全集U=R，集合A={x|x²-4x+3≥0}，B={x|2k＜x＜k+1}．
（1）若A⊆∁_UB，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若（∁_UA）∩B≠∅，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A，然后分B為∅和不是∅分類求解，當(dāng)B非空時(shí)，得到∁_UB={x|x≤2k或x≥k+1}，把A⊆∁_UB轉(zhuǎn)化為不等式組$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{2k≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{k+1≤3}\end{array}\right.$求解k的范圍；
（2）求出∁_UA，把（∁_UA）∩B≠∅轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式組，求解不等式組得答案．

解答 解：全集U=R，集合A={x|x²-4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2k＜x＜k+1}．
（1）當(dāng)2k≥k+1，即k≥1時(shí)，B=∅，∁_UB=R，滿足A⊆∁_UB；
當(dāng)2k＜k+1，即k＜1時(shí)，∁_UB={x|x≤2k或x≥k+1}，
要使A⊆∁_UB，則$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{2k≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{k+1≤3}\end{array}\right.$，解得k＜1．
綜上，滿足A⊆∁_UB的實(shí)數(shù)k的取值范圍為R；
（2）∁_UA={x|1＜x＜3}，要使（∁_UA）∩B≠∅，則
$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{2k＜3}\\{k+1＞1}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1．
∴使（∁_UA）∩B≠∅的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．