Question

12．已知過(guò)原點(diǎn)斜率為±2兩條直線與函數(shù)y=x³+x在點(diǎn)A（1，2）處的切線圍成的封閉圖形的區(qū)域?yàn)镻，那么封閉區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)為B（x，y）．則$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$的最大值（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 求出切線方程，作出平面區(qū)域P，令z=$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$=x+2y，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的最優(yōu)解問(wèn)題．

解答 解：y′=3x²+1，k=y′（1）=4，∴函數(shù)y=x³+x在點(diǎn)A（1，2）處的切線為y-2=4（x-1），即4x-y-2=0，
作出平面區(qū)域如圖所示：
令z=$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$=x+2y，則y=-$\frac{1}{2}x$+$\frac{z}{2}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x$+$\frac{z}{2}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)截距最大，即z取得最大值，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{4x-y-2=0}\end{array}\right.$得M（1，2）．
∴z=$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$的最大值為1+2×2=5．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，向量的數(shù)量積運(yùn)算，線性規(guī)劃，作出平面區(qū)域轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)解題關(guān)鍵．