Question

17．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
在定義域（0，+∞）內(nèi)存在x₀，使函數(shù)f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立；
（1）請給出一個x₀的值，使函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}∈M$；
（2）函數(shù)f（x）=x²-x-2是否是集合M中的元素？若是，請求出所有x₀組成的集合；若不是，請說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{a}{{{x^2}+2}}∈M$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取值帶入即可；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義求解x₀即可；
（3）利用函數(shù)的思想求解．

解答 解：（1）令x₀=2，則$\frac{1}{3}≤\frac{1}{2}$，成立；
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）=x²-x-2是集合M中的元素，則存在x₀，使
f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立，
即（x₀+1）²-（x₀+1）-2≤（${{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2$）（-2），
解得：$\frac{1-\sqrt{73}}{6}≤{x}_{0}≤\frac{1+\sqrt{73}}{6}$，
故x₀組成的集合是：{x₀|$\frac{1-\sqrt{73}}{6}≤{x}_{0}≤\frac{1+\sqrt{73}}{6}$}；
（3）∵函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}+2}∈M$，
∴$\frac{a}{（x+1）^{2}+2}≤\frac{a}{{x}^{2}+2}•\frac{a}{3}$，
設(shè)g（x）=$\frac{3（{x}^{2}+2）}{（x+1）^{2}+2}$=$\frac{3（1+\frac{2}{{x}^{2}}）}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}$，
∴0＜g（x）＜3，2
a=0時顯然成立，
當(dāng)a＞0時，a＞g（x），∴a＞3；
a＜0時，a＜g（x），∴a＜0；
綜上，a≤0或a＞3

點評 本題考查新定義及運用，考查運算和推理能力，考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，正確理解定義是迅速解題的關(guān)鍵，屬于中檔題