Question

14．已知函數(shù)$f（x）=|{x-a}|+|{x-\frac{1}{2}}|，x∈R$
（Ⅰ）當(dāng)$a=\frac{5}{2}$時(shí)，解不等式f（x）≤x+10；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值的意義求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$a=\frac{5}{2}$時(shí)，
$f（x）=|{x-a}|+|{x-\frac{1}{2}}|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x+3，}&{x＜\frac{1}{2}}\\{2，}&{\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\\{2x-3，}&{x＞\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，
①當(dāng)$x＜\frac{1}{2}$時(shí)，由f（x）≤x+10得-2x+3≤x+10，
解得$x≥-\frac{7}{3}$，此時(shí)$-\frac{7}{3}≤x＜\frac{1}{2}$；
②當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$時(shí)，由f（x）≤x+10得2≤x+10，
解得x≥-8，此時(shí)$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$；．．
③當(dāng)$x＞\frac{5}{2}$時(shí)，由f（x）≤x+10得2≤x+10，
解得x≤13，此時(shí)$\frac{5}{2}＜x≤13$；
綜上，不等式f（x）≤x+10的解集為$\left\{{x\left|{-\frac{7}{3}≤x≤13}\right.}\right\}$；
（Ⅱ）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得：
$f（x）=|{x-a}|+|{x-\frac{1}{2}}|≥|{（{x-a}）-（{x-\frac{1}{2}}）}|=|{-a+\frac{1}{2}}|$，
∴f（x）的最小值為$|{-a+\frac{1}{2}}|$，
由題意得$|{-a+\frac{1}{2}}|≥a$，解得$a≤\frac{1}{4}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{4}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，絕對(duì)值的幾何意義，考查分類討論思想，是一道中檔題．