Question

9．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁與側(cè)面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2．
（1）求證：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁=$\sqrt{6}$，求四棱錐A-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC₁，CB₁，取CC₁中點(diǎn)O，連接OA，OB₁，利用正三角形的性質(zhì)可得：CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，可得CC₁⊥平面OAB₁，即可證明．
（II）利用勾股定理的逆定理可得：OA⊥OB₁．利用線面垂直的判定定理可得：OA⊥平面BB₁C₁C．再利用四棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC₁，CB₁，
則△ACC₁和△B₁CC₁皆為正三角形．
取CC₁中點(diǎn)O，連接OA，OB₁，則
CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
又AO∩B₁O=O，
∴CC₁⊥平面OAB₁，
∴CC₁⊥AB₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB₁=$\sqrt{3}$，又AB₁=$\sqrt{6}$，
∴$O{A}^{2}+{B}_{1}{O}^{2}=A{{B}_{1}}^{2}$，
∴OA⊥OB₁．
又OA⊥CC₁，OB₁∩CC₁=O，
∴OA⊥平面BB₁C₁C．
S_□BB1C1C=BC×BB₁ sin60°=2$\sqrt{3}$，
故V_A-BB1C1C=$\frac{1}{3}$S_□BB1C1C×OA=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．