Question

7．（理科）已知f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x） （a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）討論f（x）單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）定義域容易得到為R，然后可求出f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}$$（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}）$，討論a＞1和0＜a＜1，從而判斷出$\frac{a}{{a}^{2}-1}$的符號(hào)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性從而判斷出${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$的符號(hào)，從而得出f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，這便可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）定義域?yàn)镽，f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{-{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{a}^{-{x}_{2}}）$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}）$；
∵a＞0且a≠1；
∴①a＞1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}＞0$；
∵x₁＜x₂；
∴${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}，{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}＜0$，$1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
②0＜a＜1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}＜0$；
∵x₁＜x₂；
∴${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R為增函數(shù)；
∴對(duì)任意的a＞0，且a≠1，f（x）在R上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)奇偶性的定義，及判斷函數(shù)奇偶性的方法和過(guò)程，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式．