Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂x，g（x）=2log₂（2x+a），a∈R．
（1）求不等式1≤f（x²）+|f（x）-1|≤5的解集；
（2）若$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)a＞-2，求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得1≤2log₂x+|log₂x-1|≤5，由此進(jìn)行分類討論能求出原不等式的解集．
（2）由已知得$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）_min≥g（x）_max，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）由h（x）=g（x）-f（x）=2log₂（2x+a）-log₂x=$lo{g}_{2}（\frac{2x+a}{x}）$=$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$，y=log₂x是增函數(shù)，根據(jù)-2＜a＜0，a=0，a＞0，進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，2]的最小值．

解答 解：（1）不等式1≤f（x²）+|f（x）-1|≤5，即 1≤2log₂x+|log₂x-1|≤5，
∴①當(dāng)log₂x≥1時(shí)，1≤2log₂x+log₂x-1≤5，即 2≤3log₂x≤6．
求得1≤log₂x≤2，可得2≤x≤4．
當(dāng)log₂x＜1時(shí)，1≤2log₂x+（-log₂x+1）≤5，即 0≤log₂x≤4．
求得0≤log₂x＜1，1≤x＜2．
綜上可得，原不等式的解集為{x|1≤x≤4 }．
（2）∵$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）≥g（x），
∴$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）_min≥g（x）_max，
∵$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）=log₂（16x）=log₂16+log₂x=4+log₂x≥4+log₂$\frac{1}{4}$=2，
∴$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）_min=2，
∵$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，g（x）=2log₂（2x+a）≤2log₂（$\frac{9}{2}$+a），
∴$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，g（x）_max=2log₂（$\frac{9}{2}$+a），
∴2log₂（$\frac{9}{2}$+a）≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}+a＞0}\\{\frac{9}{2}+a＜2}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{2}$＜a＜-$\frac{5}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）∵a＞-2，x∈[1，2]，
∴h（x）=g（x）-f（x）=2log₂（2x+a）-log₂x=$lo{g}_{2}（\frac{2x+a}{x}）$=$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$，
∵y=log₂x是增函數(shù)，
∴-2＜a＜0時(shí)，2+$\frac{a}{x}$是增函數(shù)，[$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$]_min=log₂（2+a），
a=0時(shí)，[$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$]_min=log₂2=1，
a＞0時(shí)，2+$\frac{a}{x}$是減函數(shù)，[$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$]_min=$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．