Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，}&{x＜1}\\{{2}^{x}，}&{x≥1}\end{array}\right.$，則滿足f（f（a））=2^f（a）的a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，1]
• B． [0，1]
• C． [$\frac{2}{3}$，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 令f（a）=t，則f（t）=2^t，討論t＜1，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而得到方程無解，討論t≥1時，以及a＜1，a≥1，由分段函數(shù)的解析式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：令f（a）=t，
則f（t）=2^t，
當(dāng)t＜1時，3t-1=2^t，
由g（t）=3t-1-2^t的導(dǎo)數(shù)為g′（t）=3-2^tln2，
在t＜1時，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）遞增，
即有g(shù)（t）＜g（1）=0，
則方程3t-1=2^t無解；
當(dāng)t≥1時，2^t=2^t成立，
由f（a）≥1，即3a-1≥1，解得a≥$\frac{2}{3}$，且a＜1；
或a≥1，2^a≥1解得a≥0，即為a≥1．
綜上可得a的范圍是a≥$\frac{2}{3}$．
故選C．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．