Question

14．甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每人最多射擊3次，兩人必須交替射擊直至其中一人連續(xù)擊中兩次，連續(xù)擊中兩次者獲勝，比賽結(jié)束；若兩人各射擊3次后仍未出現(xiàn)其中一人連續(xù)擊中，則判定比賽不成功，比賽結(jié)束，采取拋擲硬幣的方法決定誰先射擊，若甲、乙兩人射中的概率均為$\frac{1}{2}$，且兩人射擊互不影響．
（1）求甲獲勝的概率；
（2）用ξ表示比賽結(jié)束時(shí)總的射擊次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）先確定甲、乙兩人先射的概率分布為$\frac{1}{2}$，射擊次數(shù)2或3．
分類得出：甲先射，射擊次數(shù)2，P（X=2），射擊次數(shù)3，P（X=3），
乙先射，射擊次數(shù)2，P（Y=2），P（Y=3），
求解甲獲勝的概率．
（2）用ξ表示比賽結(jié)束時(shí)總的射擊次數(shù)，則ξ=3，4，5，6
甲先射甲勝，乙先射乙勝，P（ξ=3），
甲先射乙勝，乙先射甲勝，P（ξ=4），
甲先射甲勝，乙先射乙勝，P（ξ=5），
，運(yùn)用對(duì)立事件求解P（ξ=6），
求解分布列，數(shù)學(xué)期望即可．

解答 解：（1）∵采取拋擲硬幣的方法決定誰先射擊，
∴甲、乙兩人先射的概率分布為$\frac{1}{2}$，射擊次數(shù)2或3．
i）甲先射，射擊次數(shù)2，P（X=2）=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
射擊次數(shù)3，P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{32}$
ii）乙先射，射擊次數(shù)2，P（Y=2）=$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．
P（Y=3）=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（4×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{32}$．
甲勝的概率為：$\frac{1}{8}$$+\frac{3}{32}$+$\frac{3}{32}$+$\frac{1}{32}$=$\frac{11}{32}$．
（2）∵用ξ表示比賽結(jié)束時(shí)總的射擊次數(shù)，則ξ=3，4，5，6
∴甲先射甲勝，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×1）=$\frac{1}{8}$．
乙先射乙勝，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×1）=$\frac{1}{8}$．
∴P（ξ=3）=$\frac{1}{8}$$+\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$．
∵甲先射乙勝，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{32}$．
乙先射甲勝，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{32}$．
∴P（ξ=4）=$\frac{3}{32}$$+\frac{3}{32}$=$\frac{3}{16}$．
∵甲先射甲勝，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{64}$
乙先射乙勝，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{64}$
∴P（ξ=5）=$\frac{3}{64}$$+\frac{3}{64}$=$\frac{3}{32}$．
P（ξ=6）=1-$\frac{1}{4}$$-\frac{3}{16}$$-\frac{3}{32}$=$\frac{15}{32}$，
分布列

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{15}{32}$

E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$$\frac{153}{32}$$+4×\frac{3}{16}$$+5×\frac{3}{32}$$+6×\frac{15}{32}$=$\frac{153}{32}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．