Question

2．若四面體ABCD中，AB=CD=BC=AD=$\sqrt{5}$，AC=BD=$\sqrt{2}$，則四面體的外接球的表面積為6π．

Answer 1

分析 將四面體補成長方體，通過求解長方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積．

解答 解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$為三邊的三角形作為底面，
且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，
從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，
并且x²+y²=5，x²+z²=5，y²+z²=2，
則有（2R）²=x²+y²+z²=6（R為球的半徑），
所以球的表面積為S=4πR²=6π．
故答案為：6π．

點評 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補法的應用，判斷外接球的直徑是長方體的對角線的長是解題的關鍵之一．