Question

8．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）若∠ACD=$\frac{π}{4}$，求AC的長；
（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin∠ABC，sin∠CAB，由正弦定理可得AC=$\frac{BCsin∠ABC}{sin∠CAB}$，代值計算可得；
（Ⅱ）由題意可得sin∠BCD和cos∠BCD，由正弦定理可得sin∠BDC，進而可得cos∠BDC，由和差角的三角函數(shù)公式可得sin∠CBD=sin（∠BCD+∠BDC）=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC，代入計算可得其值，代入S=$\frac{1}{2}$BC•BD•sin∠CBD，計算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$，
∴由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又∵∠ACD=$\frac{π}{4}$，∴由內(nèi)錯角相等可得∠CAB=∠ACD=$\frac{π}{4}$，
在△ABC中由正弦定理可得AC=$\frac{BCsin∠ABC}{sin∠CAB}$=$\frac{6×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin∠BCD=sin（π-∠ABC）=sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠BCD=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BCD}$=$\frac{1}{3}$，
∴在△BCD中由正弦定理可得：
sin∠BDC=$\frac{BC•sin∠BCD}{BD}$=$\frac{6×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{9}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos∠BDC=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BDC}$=$\frac{7}{9}$，
∴sin∠CBD=sin（∠BCD+∠BDC）
=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{7}{9}$+$\frac{1}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴△BCD的面積S=$\frac{1}{2}$BC•BD•sin∠CBD=$\frac{1}{2}×6×9×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

點評 本題考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函數(shù)公式，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．