Question

18．若過點(diǎn)（2，0）的直線與曲線y=x³和y=ax²+7x-4都相切，則a=2或$-\frac{49}{16}$．

Answer 1

分析 設(shè)過曲線y=x³上的點(diǎn)P（t，t³）的切線過點(diǎn)（2，0），對(duì)函數(shù)y=x³求導(dǎo)，求得切線的斜率和切線的方程，將（2，0）代入方程，解得t=0和3，分別討論t，求出y=ax²+7x-4的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入切線的方程，可得a的值．

解答 解：設(shè)過曲線y=x³上的點(diǎn)P（t，t³）的切線過點(diǎn)（2，0），
對(duì)函數(shù)y=x³求導(dǎo)得y'=3x²，
故曲線y=x³上的點(diǎn)P（t，t³）的切線方程為y-t³=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³，
將點(diǎn)（2，0）的坐標(biāo)代入此切線方程得0=3t²×2-2t³，即2t²（3-t）=0，
解得t=0或t=3，
（1）當(dāng)t=0時(shí)，則切線方程為y=0，即切線為x軸，此時(shí)曲線y=ax²+7x-4與x軸相切，
則$△={7^2}-4×a×（{-4}）=49+16a=0⇒a=-\frac{49}{16}$；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，切線的方程為y=27x-54，
對(duì)函數(shù)y=ax²+7x-4求導(dǎo)得y'=2ax+7，
令y'=27，則有2ax+7=27，解得$x=\frac{10}{a}$，
將$x=\frac{10}{a}$代入y=ax²+7x-4得$y=a•{（{\frac{10}{a}}）^2}+7×\frac{10}{a}-4=\frac{170}{a}-4$，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\frac{10}{a}，\frac{170}{a}-4}）$代入切線方程得$\frac{170}{a}-4=27×\frac{10}{a}-54$，
化簡(jiǎn)得$\frac{100}{a}=50$，解得a=2，
綜上所述a=2或$a=-\frac{49}{16}$．
故答案為：a=2或$a=-\frac{49}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的方程，考查直線方程的運(yùn)用，屬于中檔題．