Question

17．已知函數f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然對數的底數）
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，證明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）通過對函數f（x）求導，討論f（x）的單調性可得函數f（x）的最小值；
（2）根據條件可得g（a）=a-alna-1≥0，討論g（a）的單調性即得結論；
（3）由（2）得e^x≥x+1，即ln（x+1）≤x，通過令$x=\frac{1}{k}$ （k∈N^*），可得$\frac{1}{k}＞ln（1+k）-lnk$ （k=1，2，…，n），然后累加即可．

解答 解：（1）由題意a＞0，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=e^x-a=0，解得x=lna，
先當x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0．
即f（x）在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以f（x）在x=lna處取得極小值，且為最小值，
其最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1；
（2）∵f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，
∴在x∈R上，f_min（x）≥0，
由（1），設g（a）=a-alna-1，則g（a）≥0，
令g′（a）=1-lna-1=-lna=0，解得a=1，
易知g（a）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解為a=1，即a=1；
（3）由（2）得e^x≥x+1，即ln（x+1）≤x，當且僅當x=0時，等號成立，
令$x=\frac{1}{k}$ （k∈N^*），則$\frac{1}{k}＞ln（1+\frac{1}{k}）$，即$\frac{1}{k}＞ln（\frac{1+k}{k}）$，
所以$\frac{1}{k}＞ln（1+k）-lnk$ （k=1，2，…，n），
累加，得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）（n∈N^*）．

點評 本題考查函數的最值，單調性，通過對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，屬于中檔題．