Question

3．下列命題正確的是①②．
①在△ABC中，有A＞B?sinA＞sinB；
②已知$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow$=（-4，7），則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的正射影的數(shù)量為$\frac{{\sqrt{65}}}{5}$；
③$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$?存在唯一的實(shí)數(shù)λ∈R，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；
④函數(shù)y=sinx在第一象限為增函數(shù)；
⑤設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為$\frac{3}{4}$，則點(diǎn)P₁分$\overrightarrow{{P_2}P}$所成的比為$-\frac{3}{7}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，結(jié)合正弦定理由A＞B?sinA＞sinB判斷①正確；利用投影公式求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的正射影的數(shù)量判斷②正確；舉反例說(shuō)明③④錯(cuò)誤；由點(diǎn)P分有向線段所成的比為$\frac{3}{4}$，求出點(diǎn)P₁分$\overrightarrow{{P_2}P}$所成的比說(shuō)明⑤錯(cuò)誤．

解答 解：①在△ABC中，若sinA＞sinB成立，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2R$，得a＞b，即A＞B．
反之，若A＞B成立，∴a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，則sinA＞sinB是A＞B的充要條件，①正確；
②已知$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow$=（-4，7），則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的正射影的數(shù)量為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}=\frac{-4×2+3×7}{\sqrt{（-4）^{2}+{7}^{2}}}=\frac{\sqrt{65}}{5}$，②正確；
③$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$?存在唯一的實(shí)數(shù)λ∈R，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$不正確，例如當(dāng)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$時(shí)，λ有無(wú)數(shù)多個(gè)；
④函數(shù)y=sinx在第一象限為增函數(shù)錯(cuò)誤，如390°＞60°，但sin390°＜sin60°；
⑤設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為$\frac{3}{4}$，說(shuō)明$\overrightarrow{{P}_{1}P}=\frac{3}{4}\overrightarrow{P{P}_{2}}$，則$\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{1}}=-\frac{7}{3}\overrightarrow{{P}_{1}P}$，則點(diǎn)P₁分$\overrightarrow{{P_2}P}$所成的比為$-\frac{7}{3}$，⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題以向量，三角函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題．熟記三角與向量的有關(guān)公式和相關(guān)結(jié)論，是解好本題的關(guān)鍵．