Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，并歸納猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你歸納猜想出的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推公式便容易求出${a}_{2}=\frac{2}{3}，{a}_{3}=\frac{3}{4}，{a}_{4}=\frac{4}{5}$，從而可猜測(cè)出${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，第一步：n=1時(shí)顯然成立；第二步：假設(shè)n=k時(shí)成立，根據(jù)遞推公式只要求出${a}_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$，也就是說(shuō)n=k+1時(shí)成立，從而最后得出猜想的結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)都成立．

解答 解：（1）${a}_{1}=\frac{1}{2}$，${a}_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$，${a}_{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{5}$；
∴猜測(cè)出${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$，n∈N^*；
（2）證明：1）n=1時(shí)，顯然猜想成立；
2）假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即${a}_{k}=\frac{k}{k+1}$；
∴根據(jù)遞推公式n=k+1時(shí)，${a}_{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{（k+1）（k+2）}=\frac{{k}^{2}+2k+1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+2}$；
∴n=k+1時(shí)猜想成立；
綜上得${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$對(duì)一切n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推公式求數(shù)列前幾項(xiàng)的方法，以及根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，熟悉數(shù)學(xué)歸納法證明命題的方法與過(guò)程．