Question

15．使內(nèi)接橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的矩形面積最大，矩形的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$a，寬為$\sqrt{2}$b．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程設(shè)內(nèi)接橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由矩形的面積公式和二倍角的正弦公式，以及正弦函數(shù)的最值，即可得到所求最大值及對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)與寬．

解答 解：設(shè)內(nèi)接橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（acosα，bsinα），（0＜α＜$\frac{π}{2}$）
B（acosα，-bsinα），C（-acosα，-bsinα），D（-acosα，bsinα），
則內(nèi)接矩形的面積為S=2acosα•2bsinα=2absin2α，
當(dāng)sin2α=1，即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，矩形的面積最大，且為2ab．
即有矩形的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$a，寬為$\sqrt{2}$b．
故答案為：$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．