Question

3．對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個“可等域區(qū)間”，給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）
②f（x）=|2^x-1|
③f（x）=2x²-1
④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的序號為②③．

Answer 1

分析 根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義分別進行判斷即可得到結論．

解答 解：①：函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）的周期是4，正弦函數(shù)的性質(zhì)我們易得，A=[0，1]為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”，同時當A=[-1，0]時也是函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”，∴不滿足唯一性．
②A=[0，1]為函數(shù)f（x）=|2^x-1|的“可等域區(qū)間”，
當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，函數(shù)單調(diào)遞增，f（0）=1-1=0，f（1）=2-1=1滿足條件，
∴m，n取值唯一．故滿足條件．
③當A=[-1，1]時，f（x）∈[-1，1]，滿足條件，且由二次函數(shù)的圖象可知，滿足條件的集合只有A=[-1，1]一個．
④∵f（x）=log₂（2x-2）單調(diào)遞增，且函數(shù)的定義域為（1，+∞），
若存在“可等域區(qū)間”，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2m-2）=m}\\{lo{g}_{2}（2n-2）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m-2={2}^{m}}\\{2n-2={2}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程2^x=2x-2的兩個根，
作出函數(shù)設f（x）=2^x和y=2x-2的圖象，
當x＞1時，兩個函數(shù)沒有交點，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在兩個解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域區(qū)間”．
故答案為：②③

點評 本題主要考查與函數(shù)有關的新定義問題，根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義，建立條件關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．