Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為pcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-1，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，（其中α為參數(shù)，α∈[0，2π）），點A，B分別在曲線C₁，C₂上．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）試求兩曲線上點A，B距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$+1=0，能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，曲線C₂中消去參數(shù)，能求出曲線C₂的普通方程．
（2）設(shè)B（1+$\sqrt{2}cosα$，1+$\sqrt{2}sinα$），求出點B到曲線C₁的距離，利用三角函數(shù)能求出兩曲線上點A，B距離的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-1，即$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$+1=0，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x+$\sqrt{3}y$+2=0，
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，
∴曲線C₂的普通方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）∵點A，B分別在曲線C₁，C₂上，∴設(shè)B（1+$\sqrt{2}cosα$，1+$\sqrt{2}sinα$），
點B到曲線C₁的距離d=$\frac{|1+\sqrt{2}cosα+\sqrt{3}+\sqrt{6}sinα+2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{2\sqrt{2}sin（α+θ）+\sqrt{3}+3}{2}$，
∴兩曲線上點A，B距離的最小值d_min=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}-\sqrt{2}$．

點評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程和普通方程的求法，考查兩曲線上點A，B距離的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．