Question

14．在直角坐標系xOy中，已知點P是反比例函數(shù)y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．
（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：
①求出點A，B，C的坐標．
②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的$\frac{1}{2}$？若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證四邊形OKPA為矩形，再根據(jù)AP=KP，得出四邊形OKPA是正方形；
（2）①先根據(jù)幾何關系得出△PBC為等邊三角形，再求出P點坐標，進而得出A，B，C的坐標；
     ②先設出二次函數(shù)的解析式，求出直線BP的解析式，并根據(jù)面積求出直線AM的解析式，最后聯(lián)立方程求M的坐標．

解答 解：（1）四邊形OKPA是正方形，證明如下：
∵⊙P分別與兩坐標軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°，
又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°，
∴四邊形OKPA是矩形，
又∵AP=KP，∴四邊形OKPA是正方形．
（2）①連接PB，過點P作PG⊥BC于G，
∵四邊形ABCP為菱形，∴BC=PA=PB=PC（半徑），
∴△PBC為等邊三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
∴P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）代入$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{x}$，解之得：x=±2（負值舍去）．
∴PG=$\sqrt{3}$，PA=BC=2，則P（2，$\sqrt{3}$），
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），C（3，0）．
②設二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）（x-3），過點A（0，$\sqrt{3}$），
∴$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴二次函數(shù)解析式為：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$x+$\sqrt{3}$
設直線BP的解析式為：y=ux+v，
據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}u+v=0\\ 2u+v=\sqrt{3}\end{array}\right.$解之得：$\left\{\begin{array}{l}u=\sqrt{3}\\ v=-\sqrt{3}\end{array}\right.$．
∴直線BP的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
要使${S_{△MBP}}=\frac{1}{2}{S_{菱形ABCP}}={S_{ABP}}={S_{△CBP}}$，
過點A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=\sqrt{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=7\\{y_2}=8\sqrt{3}\end{array}\right.$，
過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：y=$\sqrt{3}$x+t，
∴0=3$\sqrt{3}$+t，∴t=-3$\sqrt{3}$，
∴直線CM的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x2-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3\\{y_1}=0\end{array}\right.$；$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=4\\{y_2}=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，$\sqrt{3}$），（3，0），（4，$\sqrt{3}$），（7，8$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，圓的性質的綜合應用，四邊形形狀的判斷和菱形的面積的求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想，屬于難題．