Question

12．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）設(shè)AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$，求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取PA中點(diǎn)G，連結(jié)FG，DG，由題意可得四邊形DEFG為平行四邊形，得到EF∥DG且EF=DG，再由PD⊥底面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，進(jìn)一步得到平面PAB⊥平面PAD，由PD=AD，PG=GA，可得DG⊥PA，而DG?平面PAD，得到DG⊥平面PAB，從而得到EF⊥平面PAB；
（2）連接PE，BE，可得${S}_{△BEA}=\frac{1}{2}{S}_{四邊形ABCD}$，求解直角三角形得到PD=1，然后利用等積法把三棱錐P-AEF的體積轉(zhuǎn)化為B-AEF的體積求解．

解答 （1）證明：取PA中點(diǎn)G，連結(jié)FG，DG，
由題意可得BF=FP，則FG∥AB，且FG=$\frac{1}{2}AB$，
由CE=ED，可得DE∥AB且DE=$\frac{1}{2}AB$，
則FG=DE，且FG∥DE，
∴四邊形DEFG為平行四邊形，則EF∥DG且EF=DG，
又PD⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ABD，
則平面PAB⊥平面PAD，
由PD=AD，PG=GA，可得DG⊥PA，而DG?平面PAD，
∴DG⊥平面PAB，
又EF∥DG，得EF⊥平面PAB；
（2）解：連接PE，BE，則${S}_{△BEA}=\frac{1}{2}{S}_{四邊形ABCD}$，
∵AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∴BC=1，則PD=1，
∴V_P-AEF=V_B-AEF=$\frac{1}{2}{V}_{P-ABE}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•PD$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AB•AD•PD$=$\frac{1}{12}•\sqrt{2}•1•1=\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．