Question

3．已知函數(shù)$f（x）=|{\begin{array}{l}{2cos（{x+\frac{π}{3}-α}）}&{2sinα}\\{sin（{x+\frac{π}{3}-α}）}&{cosα}\end{array}}|$
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）的圖象F按向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{3}$，-1）平移到F′，F(xiàn)′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意利用兩角和差的三角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．
（2）由題意利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得f′（x）=2cosx-1，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義和求法求得f′（x）的零點(diǎn)．

解答 解：（1）f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$-α）cosα-2sinαsin（x+$\frac{π}{3}$-α）=2cos（x+$\frac{π}{3}$），
令 $2kπ-π≤x+\frac{π}{3}≤2kπ$，求得2kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{3}$，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間$[{2kπ-\frac{4π}{3}，2kπ-\frac{π}{3}}]，k∈Z$．
（2）F′的解析式是y=f′（x）=2cosx-1，令2cosx-1=0，
求得f′（x）的零點(diǎn)為$x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)零點(diǎn)的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．