Question

12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，E為AD的中點．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求異面直線CD與PB所成角的大��；
（3）畫出平面PAB與平面PCD的交線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理證明CD⊥平面PAC，進而再利用線面平行的判定定理證明CE∥平面PAB；
（2）連接BE，PE，則∠PBE是異面直線PB與CD所成的角，然后解三角形，求異面直線PB與CD所成角的大小；
（3）延長AB和DC交點為F，根據(jù)公理3和公理1，可得PF即為平面PAB與平面PCD的交線．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴CD⊥PA，
又∵CD⊥PC，PC∩PA=P，
∴CD⊥面PAC，
∵AB⊥BC，AB=BC=1
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=45°，
又由CD⊥面PAC，
∴CD⊥AC
∴△ACD為等腰直角三角形，
又E為AD中點，
∴CE⊥AD，
又∵BC∥AD，
∴CE⊥BC
∴CE∥AB，
而AB?面PAB，CE?面PAB
∴CE∥面PAB，
（2）連接PE，如下圖所示：

由（1）可得BE∥CD，
∴∠PBE即為異面直線CD與PB所成角，
∵AB=BC=1，PA=AD=2，E為AD的中點．
∴PB=PE=BE=$\sqrt{2}$，
∴∠PBE=$\frac{π}{3}$，
故異面直線CD與PB所成角的大小為$\frac{π}{3}$；
（3）延長AB和DC交點為F，則
PF即為：平面PAB與平面PCD的交線，如下圖所示：

P和F均為平面PAB與平面PCD的公共點，
根據(jù)公理3和公理1，可得PF即為平面PAB與平面PCD的交線．

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，異面直線的夾角，難度中檔．