Question

7．?dāng)?shù)列滿足a₀=$\frac{1}{3}$，及對(duì)于自然數(shù)n，a_n+1=a_n²+a_n，則$\sum_{n=0}^{2015}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整數(shù)部分是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通過對(duì)a_n+1=a_n²+a_n變形可知$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\sum_{n=0}^{2015}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=（$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$）
=$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
=3-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及裂項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．