Question

13．如圖所示，在四邊形ABCP中，線段AP與BC的延長線交于點D，已知AB=AC且A，B，C，P四點共圓．
（1）求證：AC•DP=BD•PC
（2）若△ABC是面積為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，求AP•AD的值．

Answer 1

分析 （1）證明△DPC∽△DBA，所以$\frac{PC}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$，利用AB=AC，可得結論；
（2）求出AC=4，證明△APC∽△ACD，所以$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，所以AP•AD=AC²=16．

解答 （1）證明：因為點A，B，C，P四點共圓，所以∠ABC+∠APC=180°，
因為∠DPC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，
因為∠D=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以$\frac{PC}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$，
因為AB=AC，所以$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$．即AC•DP=BD•PC  …（5分）
（2）解：因為△ABC是面積為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，
所以AB=AC=4，
因為AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，
又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．
由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，
又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，所以AP•AD=AC²=16．…（10分）

點評 本題考查的知識點：四點共圓的性質，三角形相似的判定和性質．屬于中檔題．