Question

8．已知圓C過點（0，2）且與直線x+$\sqrt{3}$y-4=0切于點$（1，\sqrt{3}）$．
（1）求圓C的方程；
（2）若P，Q為圓C與y軸的交點（P在Q上），過點T（0，4）的直線l交圓C于M，N兩點，若M，N都不與P，Q重合時，是否存在定直線m，使得直線PN與QM的交點G恒在直線m上．若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合條件建立方程關(guān)系即可求圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線和圓的方程，利用消參法進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：（1）設(shè)圓心C（a，b），
由題有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{b-\sqrt{3}}}{a-1}=\sqrt{3}}\\{\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{{{（a-0）}^2}+{{（b-2）}^2}}}\end{array}}\right.$，得a=b=0，
所以，圓心為（0，0），半徑為2，
故圓的方程為x²+y²=4
（2）根據(jù)圓的對稱性，點G落在與y軸垂直的直線上
令N（-2，0），則直線$TN：\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1?y=2x+4$與圓C：x²+y²=4聯(lián)立得：5x²+16x+12=0，
∴${x_M}=-\frac{6}{5}$，∴$M（-\frac{6}{5}，\frac{8}{5}）$，QM：y=-3x-2
所以直線PN：x-y+2=0與QM的交點G（-1，1），
猜想點G落在定直線y=1上．
下證：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+4\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+8kx+12=0$\left\{\begin{array}{l}△={（8k）^2}-48（1+{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$
直線PN：$\frac{y-2}{x}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}$，直線QM：$\frac{y+2}{x}=\frac{{{y_2}+2}}{x_2}$
消去x得：$\frac{y-2}{y+2}=\frac{{（{y_1}-2）{x_2}}}{{（{y_2}+2）{x_1}}}$
要證：G落在定直線y=1上，只需證：$\frac{1-2}{1+2}=\frac{{（{y_1}-2）{x_2}}}{{（{y_2}+2）{x_1}}}$
即證：$\frac{-1}{3}=\frac{{（k{x_1}+2）{x_2}}}{{（k{x_2}+6）{x_1}}}$
即證：-kx₁x₂-6x₁=3kx₁x₂+6x₂
即證：4kx₁x₂+6（x₁+x₂）=0
即證：$4k\frac{12}{{1+{k^2}}}-6\frac{8k}{{1+{k^2}}}=0$
顯然成立．
所以直線PN與QM的交點在一條定直線上．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出圓的標準方程，以及利用直線和圓進行聯(lián)立是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．