Question

5．三個(gè)元件T₁，T₂，T₃正常工作的概率分別為$\frac{1}{2}\;，\frac{3}{4}\;，\frac{3}{4}$，將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路．
（1）在如圖的一段電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？
（2）三個(gè)元件按要求連成怎樣的一段電路時(shí)，才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大？請(qǐng)畫(huà)出此時(shí)的電路圖，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）記“三個(gè)元件T₁，T₂，T₃正常工作”分別為事件A₁，A₂，A₃，電路不發(fā)生故障的概率為P₁=P[（A₂∪A₃）•A₁]=P（A₂∪A₃）•P（A₁），計(jì)算求的結(jié)果．
（2）如右圖，圖1中電路不發(fā)生故障的事件為（A₁∪A₂）•A₃，求得電路不發(fā)生故障的概率P₂=P[（A₁∪A₂）•A₃]=P（A₁∪A₂）•P（A₃）值，可得P₂＞P₁ ．在圖2中，同理不發(fā)生故障概率為P₃=P₂＞P₁，命題得證．

解答 解：記“三個(gè)元件T₁，T₂，T₃正常工作”分別為事件A₁，A₂，A₃，則$P（{A_1}）=\frac{1}{2}\;\;，P（{A_2}）=\frac{3}{4}\;\;，P（{A_3}）=\frac{3}{4}$．
（1）電路不發(fā)生故障的事件為（A₂∪A₃）•A₁，
∴電路不發(fā)生故障的概率為P₁=P[（A₂∪A₃）•A₁]=P（A₂∪A₃）•P（A₁）=$[1-P（\overline{A_2}）•P（\overline{A_3}）]•P（{A_1}）$=$[1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}]×\frac{1}{2}=\frac{15}{32}$．
（2）如右圖，此時(shí)電路不發(fā)生故障的概率最大．證明如下：
圖1中電路不發(fā)生故障的事件為（A₁∪A₂）•A₃，
∴電路不發(fā)生故障的概率為P₂=P[（A₁∪A₂）•A₃]=P（A₁∪A₂）•P（A₃）=$[1-P（\overline{A_1}）•P（\overline{A_2}）]•P（{A_3}）$=$[1-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}]×\frac{3}{4}=\frac{21}{32}$，
∴P₂＞P₁ ．
圖2不發(fā)生故障事件為（A₁∪A₃）•A₂，同理不發(fā)生故障概率為P₃=P₂＞P₁，命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對(duì)立事件的概率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．