Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n+6=2a_n+2n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}-2}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1得出a_n-2與a_n-1-2的關(guān)系即可判斷出結(jié)論；
（2）使用錯(cuò)位相減法求出T_n，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n+6=2a_n+2n，∴S_n=2a_n+2n-6，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁+2-6，∴a₁=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+2n-6-[2a_n-1+2（n-1）-6]=2a_n-2a_n-1+2，
∴a_n-2=2（a_n-1-2）．
∴數(shù)列{a_n-2}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）${a_n}-2={2^n}$，∴${b_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$．
∴${T_n}=1•（\frac{1}{2}）+2•{（\frac{1}{2}）^2}+3•{（\frac{1}{2}）^3}+…+n•{（\frac{1}{2}）^n}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=1•{（\frac{1}{2}）^2}+2•{（\frac{1}{2}）^3}+3•{（\frac{1}{2}）^4}+…+（n+1）•{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．
兩式相減得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+•{（\frac{1}{2}）^2}+•{（\frac{1}{2}）^3}+•{（\frac{1}{2}）^4}+…+{（\frac{1}{2}）^n}-（n+1）•{（\frac{1}{2}）^{n+1}}=1-{（\frac{1}{2}）^n}-（n+1）•{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$，
∴${T_n}=2-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-（n+1）•{（\frac{1}{2}）^n}＜2$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的判斷，錯(cuò)位相減法數(shù)列求和，屬于中檔題．