Question

16．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₃=4，且a₃是a₂+4與a₄+14的等差中項(xiàng)；數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₂=16，其前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．
∵a₃是a₂+4與a₄+14的等差中項(xiàng)．
∴2a₃=a₂+4+a₄+14，又a₃=4，
∴8=$\frac{4}{q}$+4+4q+14，
化為2q²+5q+2=0，
解得q=-2或q=-$\frac{1}{2}$．
當(dāng)q=-2時，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=4×（-2）^n-3=（-2）^n-1．
當(dāng)q=-$\frac{1}{2}$時，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=$4×（-\frac{1}{2}）^{n-3}$=$（-\frac{1}{2}）^{n-5}$．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d．
由T_n=nλ•b_n+1，
得$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=λ{(lán)b}_{2}}\\{{T}_{2}=2λ{(lán)b}_{3}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{16-d=16λ}\\{16-d+16=2λ（16+d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{λ=1}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{d=8}\\{λ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
此時數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=b₂+（n-2）d=16+8（n-2）=8n，
則b_n+1=8（n+1），b₁=8，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=8n+$\frac{n（n-1）}{2}$×8=4n（n+1），
而nλ•b_n+1=n×$\frac{1}{2}$8（n+1）=4n（n+1），滿足T_n=nλb_n+1，符合題意，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=8n且$λ=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．