Question

8．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{cosC}{c}$，則sinC-sinB的取值范圍為（-1，1）．

Answer 1

分析 把已知等式變形，得到$\frac{2sinB-sinC}{2sinC}=\frac{cosC}{c}$，然后分C=$\frac{π}{2}$和C$≠\frac{π}{2}$討論，當(dāng)C$≠\frac{π}{2}$時(shí)，再分$C＞\frac{π}{2}$和$C＜\frac{π}{2}$討論求解sinC-sinB的取值范圍．

解答 解：由$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{cosC}{c}$，得$\frac{2sinB-sinC}{2sinC}=\frac{cosC}{c}$，
①當(dāng)C=$\frac{π}{2}$時(shí)，B=$\frac{π}{6}$，此時(shí)sinC-sinB=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)C$≠\frac{π}{2}$時(shí)，c=$\frac{2sinCcosC}{2sinB-sinC}＞0$．
若C$＞\frac{π}{2}$，則2sinB-sinC＜0，
∴0$＜sinB＜\frac{sinC}{2}$，
∴$\frac{sinC}{2}＜sinC-sinB＜sinC$，
若C＜$\frac{π}{2}$，則2sinB-sinC＞0，
∴$\frac{sinC}{2}＜sinB≤1$．
此時(shí)sinC-1≤sinC-sinB$＜\frac{sinC}{2}$，即-1$＜sinC-sinB＜\frac{1}{2}$．
綜上，-1＜sinC-sinB＜1．
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，靈活變形是解答該題的關(guān)鍵，屬難題．