Question

20．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程；
（Ⅱ）已知曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosα}\\{y=rsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），且曲線C₁、C₂的交點(diǎn)形成一正方形，求該正方形的面積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系肖參數(shù)θ得出普通方程；
（II）根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知曲線交點(diǎn)在象限的角平分線上，求出交點(diǎn)坐標(biāo)得出正方形的面積．

解答 解：（I）曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）曲線C₂的普通方程為x²+y²=r²．
∵曲線C₁、C₂的交點(diǎn)形成一正方形，
∴兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)在直線y=±x上．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=$±\frac{3}{2}$．
∴兩曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∴曲線交點(diǎn)構(gòu)成的正方形面積為S=4×（$\frac{3}{2}$）²=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬于基礎(chǔ)題．