Question

12．△ABC中，已知角A，B，C的對邊a，b，c成等比數(shù)列，公比是q．
（1）若A，B，C成等差數(shù)列，求q的值．
（2）求q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知角A，B，C成等差數(shù)列可求B，A+C=120°，再由a，b，c成等比數(shù)列可得b²=ac，結(jié)合正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用二倍角及輔助角公式整理可得sin（2A-30°）=1，求得A，B，C，得到△ABC是等邊三角形．即可得解．
（2）依題意，設(shè)三角形的三邊分別為a，aq，aq²，利用任意兩邊之和大于第三邊即可求得q的取值范圍，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）△ABC中，∵A、B、C成等差數(shù)列，可得2B=A+C． 再由A+B+C=180°可得，B=60°，A+C=120°．
由a，b，c成等比數(shù)列可得b²=ac，由正弦定理可得sin²B=sinAsinC，
即  $\frac{3}{4}$=sinAsin（120°-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA+$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{cos2A}{4}$+$\frac{1}{4}$．
整理可得，sin（2A-30°）=1，故有 A=60°，
∴B=C=60°，故△ABC是等邊三角形．
∴q=1．
（2）設(shè)三角形的三邊分別為a，aq，aq²，
則a+aq＞aq²，a+aq²＞aq，aq+aq²＞a，
解得：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$＜q＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 解三角形的常見類型是結(jié)合正弦定理、余弦定理，三角形的內(nèi)角和、大邊對大角等知識(shí)綜合應(yīng)用，而二倍角公式及輔助角公式是經(jīng)常用到的公式，要注意掌握，本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．