Question

5．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（1，0），直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{15}$，求|PA|•|PB|及直線的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出圓的方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）代入圓的方程（x-2）²+y²=4，得t²-2tcosα-3=0．由此利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出|PA|•|PB|及直線的傾斜角α的值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
于是有x²+y²=4x，化簡(jiǎn)得（x-2）²+y²=4．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）代入圓的方程（x-2）²+y²=4．
得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化簡(jiǎn)得t²-2tcosα-3=0．設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=2cosα}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+12}$=$\sqrt{15}$，
∴4cos²α=3，cosα=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，$α=\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查|PA|•|PB|及直線的傾斜角α的值的求法，是中題，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．